Producto cartesiano de conjuntos

Lanzamiento de monedas

Consideremos tres monedas, cada una de valor distinto. ¿Cuál es el conjunto de todos los posibles lanzamientos de estas tres monedas?

Lo primero que haremos será escribir los conjuntos por comprensión. Esto es:

$$M_1=\{x:x \text{ es el lanzamiento de la moneda 1}\},$$$$M_2=\{x:x \text{ es el lanzamiento de la moneda 2}\},$$$$M_3=\{x:x \text{ es el lanzamiento de la moneda 3}\}.$$

Luego, escribiremos los conjuntos por extensión:

In [1]:
M1={'cara','sello'}
M2={'cara','sello'}
M3={'cara','sello'}

Definición:

In [2]:
L={(c,d,e)for c in M1 for d in M2 for e in M3}
print(L)

{('sello', 'sello', 'cara'), ('cara', 'cara', 'cara'), ('sello', 'sello', 'sello'), ('cara', 'cara', 'sello'), ('sello', 'cara', 'cara'), ('cara', 'sello', 'cara'), ('sello', 'cara', 'sello'), ('cara', 'sello', 'sello')}

Ahora, grafiquemos nuestro producto cartesiano como coordenadas en un espacio tridimencional:

In [3]:
import plotly.graph_objects as go 

x, y, z = zip(*L)
fig = go.Figure(data=[go.Scatter3d(x=x, y=y, z=z, mode='markers', marker_size=2)])
fig.show()

Lanzamiento de dados

Consideremos dos dados, cada una de color distinto. ¿Cuál es el conjunto de todos los posibles lanzamientos de los dos dados?

Lo primero que haremos será escribir los conjuntos por comprensión. Esto es:

$$D_1=\{x:x \text{ es el lanzamiento del dado 1}\},$$$$D_2=\{x:x \text{ es el lanzamiento del dado 2}\}.$$

Luego, escribiremos los conjuntos por extensión:

In [4]:
D1={1,2,3,4,5,6}
D2={1,2,3,4,5,6}

L2={(c,d)for c in D1 for d in D2}
print(L2)

{(3, 4), (4, 3), (3, 1), (5, 4), (4, 6), (5, 1), (2, 2), (1, 6), (2, 5), (1, 3), (6, 2), (6, 5), (4, 2), (4, 5), (3, 3), (5, 6), (3, 6), (5, 3), (2, 4), (1, 2), (2, 1), (1, 5), (6, 1), (6, 4), (3, 2), (4, 1), (3, 5), (5, 2), (4, 4), (5, 5), (1, 1), (1, 4), (2, 3), (2, 6), (6, 6), (6, 3)}

In [6]:
import matplotlib.pyplot as plt

x, y = zip(*L2)
plt.scatter(x,y)
plt.xlabel("Lanzamientos del dado $D_1$")
plt.ylabel("Lanzamientos del dado $D_2$")
plt.title("Lanzamiento de dos dados")
plt.show()

Gráficas en el espacio

Consideremos los siguientes conjuntos, uno es el conjunto formado por los puntos de la circunferencia de radio uno y centrada en el origen, el otro conjunto es el intervalo cerrado del 0 al 1. ¿Cuál es el producto cartesiano de estos dos conjuntos?

In [7]:
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')

l = np.linspace(-100 * np.pi, 100 * np.pi, 1000000)
x = np.cos(l)
y = np.sin(l)
c = np.linspace(0.0, 1.0, 1000000)

ax.plot(x, y, c)
ax.set_xlim(-2, 2)
ax.set_ylim(-2, 2)
plt.title('$S^1$ $x$ $[0,1]$')
plt.show()

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