Introducción a la teoría de números

Divisibilidad

Definición:

Sean $a,b\in \mathbb{Z}.$ Decimos que $b$ divide a $a$ (o que $b$ es factor de $a$, o que $a$ es múltiplo de $b$) si existe un $n \in \mathbb{Z}$ tal que $bn=a,$ lo denotamos por $b|a$.

Es decir, $$b|a\iff \exists n\in\mathbb{Z}:bn=a.$$

Ejemplo:

In [20]:
def es_divisor(a,b):
    if a%b==0:
        n=a/b
        print(str(int(n))+"*"+str(b)+"="+str(a))
    else:
        print("No son divisibles")
In [23]:
es_divisor(2020,4)

505*4=2020
In [24]:
es_divisor(2020,-4)

-505*-4=2020

Teorema:

Dados $a,b,c \in \mathbb{Z}$, tenemos que:

  • $1|a$.
  • Si $a\neq 0$, entonces $a|a$.
  • Si $b\neq 0$, entonces $|a|\leq |b|$.
  • Si $a|b$ y $b|a$, entonces $|a|=|b|$.
  • Si $a|b$ y $b|c$, entonces $a|c$.
  • Si $c|a$ y $c|b$, entonces $c$ divide a cualquier combinación lineal (entera) entre $a$ y $b$, es decir $c|k$ con $k=xa+yb$, donde $x,y\in \mathbb{Z}$.
Si $b\neq 0$, entonces $|a|\leq |b|$.

Demostración:

La demostración ha fallado

🧠 Vamos a demostrar las otras...

enlace

Algorítmo de la división

Teorema:

Dados $a,d\in\mathbb{Z}$ tal que $d\neq 0$, existe números enteros únicos $e$ y $r$ tales que:

$a=de+r$, con $0\leq r< |d|.$

El número $r$ es llamado el residuo que resulta al dividir $a$ entre $d$ o el residuo de $a$ módulo $d$, y se denota como: $Res_d (a)$.

👩‍🏫 Estudiemos el teorema antes de dar la demostración:

In [8]:
def alg_div(a,d):
    e=a//d
    r=a%d
    return (e,r)
In [9]:
alg_div(8,4)
Out[9]:
(2, 0)
In [10]:
alg_div(15,4)
Out[10]:
(3, 3)
In [12]:
alg_div(150,4),alg_div(37,2) #Primera muestra del algorítmo de euclides.
Out[12]:
((37, 2), (18, 1))

🤯 Veamos la demostración JamBoard