Solución Examen 1. Fundamentos.
🤓 🧑💻 📖
📝 Punto 1:¶
- Haga el diagrama de Venn con los valores numéricos correspondientes al cardinal de cada región del diagrama.
- Resuelva cada una de las preguntas escribiendo el enunciado de la pregunta y su correspondiente solución.
In [100]:
from IPython.display import Image
Image("Punto1D1.png")
Out[100]:
🧐 Sistemas de ecuaciones 1:
$$26=18+4y+x,$$$$14=\frac{3}{2}z+x+4y,$$$$34=18+5y+2x+\frac{3}{2}z.$$Con solución $y=2$, $x=0$, $z=4$. Y corres ponde a las situaciones problema:
- Escuela de baile,
- 34
- 0
- 18
- Departamentos.
- 34
- 0
- 18
🧐 Sistemas de ecuaciones 2:
$$26=18+4y+x,$$$$12=\frac{z}{2}+8+x+y,$$$$18=8+4y+\frac{z}{2}.$$Con solución $y=2$, $x=0$, $z=4$. Y corres ponde a las situaciones problema:
- Actividades extracurriculares,
- 16
- 8
- 0
- Juagos de mesa.
- 16
- 8
- 0
In [101]:
from IPython.display import Image
Image("Punto1D2.png")
Out[101]:
🧐 Sistemas de ecuaciones 1:
$$32=3x+8+z,$$$$36=18+2x+z,$$$$26=2z+y+8.$$Con solución $x=y=z=6$. Y corres ponde a las situaciones problema:
- Libros del año,
- 54
- 20
- 46
- Sabores de helado.
- 22
- 8
- 18
🧐 Sistema de ecuaciones 2:
$$26=2z+y+8,$$$$22=10+x+y,$$$$32=18+2x+z.$$Con solución $x=y=z=6$. Y corresponde a las situaciones problema:
- Emisora de radio:
- 72
- 20
- 6
- La ecuación más relevante:
- 48
- 14
- 18
📝 Punto 2:¶
Resuelva:
- De los siguientes conjuntos elija el que tiene cardinal cuatro y escribalo por extensión:
- $A_1=\{n\in\mathbb{Z}^+: n \text{ es un cuadrado perfecto menos que 25}\}$
In [1]:
A_1=set([1,4,9,16])
print(A_1)
type(A_1)
Out[1]:
- $A_2=\{x_{i+1}=x_i +1: i=0,1,2,3. \text{ y } x_0=1\}$
In [3]:
A_2=set([2,3,4,5])
print(A_2)
- $A_3=\{x\in \mathbb{Z}: (x^2+x-6)(x^2-x-6)=0\}$
In [4]:
A_3=set([-3,-2,2,3])
print(A_3)
- $A_4=\{x\in \mathbb{N}:2\leq x\leq 13 \text{ y } x\%3=1\}$
In [5]:
A_4=set([4,7,10,13])
print(A_4)
- Del conjunto anterior calcule el conjunto de partes (excriba sus elementos por extensión) y determine su cardinal.
In [61]:
PA_1=set(Subsets(A_1))
print("Conjunto de partes: ", PA_1)
print()
print("Cardinal del conjunto de partes: ", len(PA_1))
In [7]:
PA_2=set(Subsets(A_2))
print("Conjunto de partes: ", PA_2)
print()
print("Cardinal del conjunto de partes: ", len(PA_2))
In [8]:
PA_3=set(Subsets(A_3))
print("Conjunto de partes: ", PA_3)
print()
print("Cardinal del conjunto de partes: ", len(PA_3))
In [9]:
PA_4=set(Subsets(A_4))
print("Conjunto de partes: ", PA_4)
print()
print("Cardinal del conjunto de partes: ", len(PA_4))
📝 Punto 3:¶
Consideremos el siguiente conjunto X = {a, b, c, d}. Defina una relación tal que cumpla las siguientes propiedades:
In [10]:
#Producto cartesiano de X con X
X=['a','b','c','d']
CX=[(i,j) for i in X for j in X]
print(set(CX))
- Reflexiva, simétrica y no transitiva
In [25]:
R=[(i,j) for i in X for j in X if i==j]
R.append((X[0],X[2]))
R.append((X[2],X[0]))
R.append((X[2],X[3]))
R.append((X[3],X[2]))
print(set(R))
In [21]:
g=DiGraph(loops=True)
g.add_vertices(X)
g.add_edges(R)
g.show(figsize=[10,3])
- Reflexiva, no simétrica y no transitiva
In [24]:
#X=['a','b','c','d']
R_2=[(i,j) for i in X for j in X if i==j]
R_2.append((X[2],X[0]))
R_2.append((X[2],X[1]))
R_2.append((X[1],X[3]))
print(set(R_2))
In [27]:
g_2=DiGraph(loops=True)
g_2.add_vertices(X)
g_2.add_edges(R_2)
g_2.show(figsize=[10,2])
- Reflexiva, antisimétrica y no transitiva
In [28]:
#X=['a','b','c','d']
R_3=[(i,j) for i in X for j in X if i==j]
R_3.append((X[0],X[1]))
R_3.append((X[1],X[2]))
R_3.append((X[2],X[3]))
R_3.append((X[3],X[0]))
print(set(R_3))
In [32]:
g_3=DiGraph(loops=True)
g_3.add_vertices(X)
g_3.add_edges(R_3)
g_3.show(figsize=[10,3])
- No reflexiva, simétrica y transitiva.
In [34]:
#X=['a','b','c','d']
X_aux=['a','b','c']
R_4=[(i,j) for i in X_aux for j in X_aux]
print(set(R_4))
In [35]:
g_4=DiGraph(loops=True)
g_4.add_vertices(X)
g_4.add_edges(R_4)
g_4.show(figsize=[10,3])
- No es reflexiva, no es simétrica y tranitiva.
In [38]:
#X=['a','b','c','d']
R_5=[]
R_5.append((X[2],X[1]))
R_5.append((X[1],X[3]))
R_5.append((X[2],X[3]))
print(set(R_5))
In [39]:
g_5=DiGraph(loops=True)
g_5.add_vertices(X)
g_5.add_edges(R_5)
g_5.show(figsize=[10,3])
📝 Punto 4:¶
Considere el conjunto construı́do en el punto 2 parte a, tome una partición del mismo y determine una relación de equivalencia sobre dicho conjunto.
- $A_1=\{16, 1, 4, 9\}$
print("Conjunto:", A_1) print() print("Conjunto de partes:", set(PA_1))
In [74]:
#Convertí de set a list
PA_1=[a for a in PA_1]
print(PA_1)
# Seleccionar dado un elemento todos los conjuntos disjuntos a el
a=PA_1[4]
print()
print("Elemento: ", a)
Ca=[b for b in PA_1 if a.intersection(b)==set([])]
Ca
Out[74]:
In [78]:
b=Ca[4]
print("Elemento: ", b)
Ca=[c for c in Ca if b. intersection(c)==set([])]
Ca
Out[78]:
In [79]:
Pr=[a,b,Ca[1]]
Pr
Out[79]:
In [81]:
R=[]
for i in Pr:
for j in i:
for k in i:
R.append((j,k))
set(R)
Out[81]:
Por el teorema visto en clase, como $R=\{(1, 1), (1, 16), (4, 4), (9, 9), (16, 1), (16, 16)\}$ es una relación que viene de una partición $X/R=\{\{9\}, \{16, 1\}, \{4\}\}$, entonces $R$ es relación de euivalencia sobre $X$.
- $A_2=\{2, 3, 4, 5\}$
In [82]:
print("Conjunto:", A_2)
print()
print("Conjunto de partes:", set(PA_2))
In [92]:
Pr=[{2, 3},{4, 5}]
print("Partición: ",Pr)
print()
R=[]
for i in Pr:
for j in i:
for k in i:
R.append((j,k))
print("Relación de equivalencia: ",set(R))
- $A_3=\{{2, 3, -3, -2}\}$
In [93]:
print("Conjunto:", A_3)
print()
print("Conjunto de partes:", set(PA_3))
In [94]:
Pr=[{2},{3},{-2},{-3}]
print("Partición: ",Pr)
print()
R=[]
for i in Pr:
for j in i:
for k in i:
R.append((j,k))
print("Relación de equivalencia: ",set(R))
- $A_4=\{10, 4, 13, 7\}$
In [96]:
print("Conjunto:", A_4)
print()
print("Conjunto de partes:", set(PA_4))
In [99]:
Pr=[A_4]
print("Partición: ",Pr)
print()
R=[]
for i in Pr:
for j in i:
for k in i:
R.append((j,k))
print("Relación de equivalencia: ",set(R))